Análisis Dimensional

Ejemplo de Análisis Dimensional 

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha velocidad ${\displaystyle v}$dependerá de la altura ${\displaystyle h}$ y de la gravedad ${\displaystyle g}$. Pero imaginemos que también se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa ${\displaystyle m}$. Una de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí solo, elimina las unidades que no son necesarias.

• Identificar las magnitudes de las variables:

${\displaystyle [v]={\text{m/s}}={\text{LT}}^{-1},\quad [g]={\text{m/s}}^{2}={\text{LT}}^{-2},\quad [h]={\text{m}}={\text{L}},\quad [m]={\text{kg}}={\text{M}}}$

• Formar la matriz

${\displaystyle {\begin{array}{cc}&{\begin{bmatrix}{[h]}&{[g]}&{[v]}&{[m]}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}{\textbf {M}}\\{\textbf {L}}\\{\textbf {T}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{-2}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}\end{array}}}$

• Hacer el producto de matrices:

Aquí tenemos que decir que ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{k}}$ se refiere al exponente de la unidad ${\displaystyle \displaystyle k}$, pero eso se verá en pasos sucesivos.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{-2}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\epsilon _{h}}\\{\epsilon _{g}}\\{\epsilon _{v}}\\{\epsilon _{m}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}}}$

• Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas como ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{k}}$ cualquiera y le asignamos el valor que queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamos a tomar ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}}$ como ${\displaystyle \displaystyle 1}$.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrrcr}\epsilon _{m}&&&&=&0\\&\epsilon _{h}&+\epsilon _{g}&+\epsilon _{v}&=&0\\&&-2\epsilon _{g}&-\epsilon _{v}&=&0\end{array}}\right.\longrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{rrrcrcr}\epsilon _{m}&&&=&0\\&\epsilon _{h}&+\epsilon _{g}&=&-\epsilon _{v}&=&-1\\&&-2\epsilon _{g}&=&\epsilon _{v}&=&1\end{array}}\right.}$

Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente (${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}=1}$), se realizan los sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{h}=-1/2}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{g}=-1/2}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}=1}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{m}=0}$

• Formar el/los grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$

Un grupo ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ es una ecuación dimensional. ¿Cuántos grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ vamos a obtener? Pues si ${\displaystyle \displaystyle m}$ es el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado, ...), y ${\displaystyle \displaystyle h}$ el rango máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el número de variables que tenemos, aunque ésta no es una regla fiable), el número de grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ (o ecuaciones que obtendremos) será ${\displaystyle \displaystyle m-h}$. En el caso que nos ocupa, ${\displaystyle \displaystyle 4-3=1}$ ecuación.

Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.

${\displaystyle \displaystyle \Pi =h^{-1/2}g^{-1/2}v^{1}m^{0}={\frac {v}{\sqrt {gh}}}}$

(Nótese que ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ es dimensional). Aquí obtenemos aquello que llamábamos "autocorrección": el exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, demostrando una vez más que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión.

• Paso final: obtención de la ecuación.

${\displaystyle \displaystyle v=k{\sqrt {gh}}}$

con ${\displaystyle \displaystyle k}$ valiendo ${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}}$, lo que nos da la fórmula correcta:

${\displaystyle \displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$