Análisis Dimensional

Ejemplo de Análisis Dimensional 

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha velocidad ${\displaystyle v}$dependerá de la altura ${\displaystyle h}$ y de la gravedad ${\displaystyle g}$. Pero imaginemos que también se nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa ${\displaystyle m}$. Una de las bondades del Análisis Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí solo, elimina las unidades que no son necesarias.

• Identificar las magnitudes de las variables:

${\displaystyle [v]={\text{m/s}}={\text{LT}}^{-1},\quad [g]={\text{m/s}}^{2}={\text{LT}}^{-2},\quad [h]={\text{m}}={\text{L}},\quad [m]={\text{kg}}={\text{M}}}$

• Formar la matriz

${\displaystyle {\begin{array}{cc}&{\begin{bmatrix}{[h]}&{[g]}&{[v]}&{[m]}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}{\textbf {M}}\\{\textbf {L}}\\{\textbf {T}}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{-2}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}\end{array}}}$

• Hacer el producto de matrices:

Aquí tenemos que decir que ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{k}}$ se refiere al exponente de la unidad ${\displaystyle \displaystyle k}$, pero eso se verá en pasos sucesivos.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{0}&{0}&{0}&{1}\\{1}&{1}&{1}&{0}\\{0}&{-2}&{-1}&{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\epsilon _{h}}\\{\epsilon _{g}}\\{\epsilon _{v}}\\{\epsilon _{m}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{bmatrix}}}$

• Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas como ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{k}}$ cualquiera y le asignamos el valor que queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamos a tomar ${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}}$ como ${\displaystyle \displaystyle 1}$.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rrrrcr}\epsilon _{m}&&&&=&0\\&\epsilon _{h}&+\epsilon _{g}&+\epsilon _{v}&=&0\\&&-2\epsilon _{g}&-\epsilon _{v}&=&0\end{array}}\right.\longrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{rrrcrcr}\epsilon _{m}&&&=&0\\&\epsilon _{h}&+\epsilon _{g}&=&-\epsilon _{v}&=&-1\\&&-2\epsilon _{g}&=&\epsilon _{v}&=&1\end{array}}\right.}$

Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente (${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}=1}$), se realizan los sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{h}=-1/2}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{g}=-1/2}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{v}=1}$

${\displaystyle \displaystyle \epsilon _{m}=0}$

• Formar el/los grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$

Un grupo ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ es una ecuación dimensional. ¿Cuántos grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ vamos a obtener? Pues si ${\displaystyle \displaystyle m}$ es el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado, ...), y ${\displaystyle \displaystyle h}$ el rango máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces coincide el rango de la matriz con el número de variables que tenemos, aunque ésta no es una regla fiable), el número de grupos ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ (o ecuaciones que obtendremos) será ${\displaystyle \displaystyle m-h}$. En el caso que nos ocupa, ${\displaystyle \displaystyle 4-3=1}$ ecuación.

Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.

${\displaystyle \displaystyle \Pi =h^{-1/2}g^{-1/2}v^{1}m^{0}={\frac {v}{\sqrt {gh}}}}$

(Nótese que ${\displaystyle \displaystyle \Pi }$ es dimensional). Aquí obtenemos aquello que llamábamos "autocorrección": el exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, demostrando una vez más que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión.

• Paso final: obtención de la ecuación.

${\displaystyle \displaystyle v=k{\sqrt {gh}}}$

con ${\displaystyle \displaystyle k}$ valiendo ${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}}$, lo que nos da la fórmula correcta:

${\displaystyle \displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$

análisis dimensional

COMENTARIO

la finalidad del análisis dimensional  es dar información sobre las relaciones que mantienen entre si distintas magnitudes y constantes que intervienen en un problema físico dado. Esta basado en la         condición de homogeneidad dimensional .  

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Análisis dimensional 01

El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos "Dimensiones", los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales.

Fines del análisis dimensional

1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales.
2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional.
3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales. (Fórmulas Empíricas).

Magnitudes y unidades

Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el área, el volumen, etc.

Llamamos unidad de medida a aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.

Clasificación de las magnitudes

Por su origen	Por su naturaleza
Fundamentales. Derivadas.	Escalares. Vectoriales.

Magnitudes fundamentales:

Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o representar las demás magnitudes.

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
Magnitud	Símbolo	Unidad Básica (Símbolo)
Longitud.	L	Metro (m)
Masa.	M	Kilogramo (kg)
Tiempo.	T	Segundo (s)
Intensidad de corriente eléctrica.	I	Ampere o Amperio (A)
Intensidad Luminosa.	J	Candela (cd)
Temperatura Termodinámica.	q	Kelvin (K)
Cantidad de Sustancia.	N	Mol (mol)

MAGNITUDES AUXILIARES COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS
Nombre	Unidad Básica (Símbolo)
Ángulo Plano.	Radian (rad).
Ángulo Sólido.	Estereorradián (sr).

Magnitudes derivadas:

En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente forma: ; donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se conocen como dimensiones.

Ejemplo: área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes escalares:

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de medida.

Ejemplo: área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.

Magnitudes vectoriales:

Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad, se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente definida o determinan.

Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.

Múltiplos y submúltiplos

MÚLTIPLOS		SUBMÚLTIPLOS
Nombre y Símbolo	Factor	Nombre y Símbolo	Factor
Yotta (Y)	10 24	Deci (d)	10 -1
Zeta (E)	10 21	Centi (c)	10 -2
Exa (E)	10 18	Mili (m)	10 -3
Peta (P)	10 15	Micro (m)	10 -6
Tera (T)	10 12	Nano (n)	10 -9
Giga (G)	10 9	Pico (p)	10 -12
Mega (M)	10 6	Femto (f)	10 -15
Kilo (k)	1000	Atto (a)	10 -18
Hecto (h)	100	Zepto (z)	10 -21
Deca (da)	10	Yocto (y)	10 -24

Ecuaciones dimensionales

Llamadas también "fórmulas dimensionales", son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.

Notación:

A: se lee magnitud "A"; [A]: se lee Ecuación Dimensional de "A".

Propiedades de las ecuaciones dimensionales

1° Principio de Homogeneidad Dimensional o Principio de Fourier (P.H.).

El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD.

Ejemplo:

En la siguiente ecuación: ; luego de aplicar el principio de homogeneidad dimensional nos debe quedar de la siguiente forma: 

2° Términos Adimensionales:

Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de calculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.

3° No se cumplen la suma y la resta algebraica.

Ejemplo:

[X] + [X] + [X] = [X]

[M] - [M] = [M]

4° Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y nunca dejarse como cocientes.

Ejemplo:

El término: , deberá ser expresado como: 

Fórmulas dimensionales (F.D.) más usuales en el S.I.

Magnitud Derivada	F.D.	Unidad	Tipo
Área o Superficie	L2	m2	E
Volumen o Capacidad	L3	m3	E
Velocidad lineal	LT-1	m/s	V
Aceleración lineal	LT-2	m/s2	V
Aceleración de la Gravedad	LT-2	m/s2	V
Fuerza, Peso, Tensión, Reacción	MLT-2	kg . m/s2 = Newton (N)	V
Torque o Momento	ML2T-2	N . m	V
Trabajo, Energía, Calor	ML2T-2	N . m = Joule (J)	E
Potencia	ML2T-3	Joule/s = Watt (W)	E
Densidad	ML-3	kg/m3	E
Peso específico	ML-2T-2	N/m3	E
Impulso, ímpetu, Impulsión	MLT-1	N . s	V
Cantidad de Movimiento	MLT-1	kg . m/s	V
Presión	ML-1T-2	N/m2 = Pascal (Pa)	E
Periodo	T	s	E
Frecuencia Angular	T-1	s-1 = Hertz (Hz)	E
Velocidad Angular	T-1	rad/s	V
Aceleración Angular	T-2	rad/s2	V
Caudal o Gasto	L3T-1	m3/s	E
Calor Latente específico	L2T-2	cal/g	E
Capacidad Calorífica	ML2T-2q-1	cal/°K	E
Calor Específico	L2T-2q-1	cal/g.°K	E
Carga Eléctrica	IT	A . s = Coulomb (C)	E
Potencial Eléctrico	ML2T-3I-1	J/C = Voltio (V)	E
Resistencia Eléctrica	ML2T-3I-2	V/A = Ohm (W)	E
Intensidad de Campo Eléctrico	MLT-3I-1	N/C	V
Capacidad Eléctrica	M-1L-2T4I2	C/V = Faradio (f)	E
Nota: E = escalar y V = vectorial

Problemas:

1. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta:  Donde: F: fuerza, V: velocidad, a: aceleración. Hallar: [x/y].

a) MLT -1

b) LT

c) MLT -2

d) MLT2

e) T -1

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

2. Encontrar [K] y [C] en la ecuación dimensional correcta, si M: momento de fuerza, m: masa y H: altura.

a) L, T

b) L, T -1

c) L-1, T -2

d) L-1, T -1

e) L, T -2

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

3. En la expresión: Donde: d = fuerza; b = volumen; m y n son masas. Hallar: [a . c]

a) MLT

b) M -1L4T -2

c) ML2T -3

d) M -2

e) L3M -2

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

4. En la ecuación: dimensionalmente correcta . Donde: a = aceleración, v = velocidad, t = tiempo, e = adimensional. La dimensión de k es:

a) LT^-1           b) T           c) T^-1           d) L^-1T           e) LT

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

5. Hallar: [A/B] si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: Si: V: volumen; F: fuerza

a) L³            b) L^-3            c) L⁹            d) L^-9            e) L⁶

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

6. Sabiendo que D = densidad, g = aceleración de la gravedad, A = área, H = altura, m = masa, V = velocidad lineal, ¿cuál es el valor de "a" para que la siguiente expresión sea dimensionalmente correcta?:

a) 3             b) 2             c) 1             d)              e) 

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

7. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de A y B para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?

Siendo: W = trabajo, m = masa, y S = área.
a) L; T          b) L²; T²          c) L; T^-2          d) L²; T^-2          e) L²; L

¿Cuál es tu respuesta?:   a  b  c  d  e

FUENTE

http://www.geocities.ws/davidfisica/dimen01.html